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中学入試の問題とフラクタル(出題編)

Scratch で描いたドラゴン曲線

Scratch で描いたドラゴン曲線

フラクタルと算数の問題

「中学入試の問題とフラクタル(フラクタル紹介編)」で紹介したように、フラクタルは、ある規則で作られる図形です。

 

その規則性を利用して、問題を作ることができます。過去に中学校入試や大学入試で出題された問題を参考に、いくつか問題を作ってみました。

問題1:シェルピンスキーの三角形(面積と三角形の数)

下の図のように紫色の正三角形から、辺の長さが半分の三角形を抜く操作を繰り返した図形を作ります。下の図は、この操作を2回くり返した様子です。

次の問題に答えなさい。

正三角形から、辺の長さを半分にしながら正三角形を抜いていきます。

紫色の正三角形から、辺の長さが半分の正三角形を抜く操作を繰り返した図
  1. はじめは、正三角形が1つだったのが、1回操作した後は正三角形が3個、2回操作した後は、正三角形が9個になります。8回操作した後の紫色の正三角形の個数を求めなさい。
  2. 紫色の正三角形の数が14348907個になるのは、何回操作した後ですか。
  3. 初めの正三角形の面積が144㎠の時、1回操作した後の紫色の部分の面積と、2回操作した後の紫色の部分の面積は何㎠ ですか。
  4. はじめて面積が10㎠より小さくなるのは、何回操作した後ですか。

問題2:コッホ曲線(線の長さ)

[操作] 下の図のように辺ABを3等分する点C, DをAに近い方からとり、CDを辺とする正三角形のCD以外の頂点をEとします。そして、元の辺ABをA, C, E, D, B を結んでできる折れ線で置き換えます。ただし、点Eはいつも上側(外側)に取ります。

上の操作に従って、辺を折れ線で置き換える操作を繰り返して折れ線を作ります。

下の図は、辺ABに対して、この操作を2回繰り返した様子です。

次の問題に答えなさい。

 

操作の過程

操作の過程
  1. 辺ABの長さが 243 cmの時、操作を2回した後と3回した後の図形の辺の数と辺の長さを求めなさい。
  2. 折れ線の長さがはじめて1000をこえるのは、何回操作した後ですか。
  3. この操作をどんどん繰り返すと、この折れ線の長さはどうなりますか。増え方とどこまで増えるかの2つの点に着目して説明しなさい。

問題2のおまけ:コッホ曲線(面積)

正三角形から初めて、問題2の操作をすべての辺に対して繰り返します。

下の図は、正三角形から始めて、操作を2回繰り返した図です。

次の問題に答えなさい。

  1. 最初の三角形の面積を 729 ㎠の時、1回操作した後の図形と2回操作した後の図形の面積を求めなさい。
  2. この操作を何回も繰り返した時、この図形の面積はどのようになりますか。増え方とどこまで増えるかの2つの点に着目して説明しなさい。

出題の反省

第1問は1993年の調布中学校(現・田園調布学園)の問題、第2問は2006年の鳥取大学の問題や2010年の北海道大学の問題を参考にしました。

元が大学入試の問題ということもありますが、フラクタルを問題にすると、小学生には難しすぎる...と思いながら....やはり、繰り返しの数をどんどん増やしたらどうなるかを考えてみてほしいなぁという....いう欲が出てきてしまいます。

もちろん、中学入試で無限をイメージさせる問題はおそらく出題されません(念の為)。