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中学入試の問題とフラクタル 解答編 #1

フラクタルの問題の解答編です。

こちらは前回の記事

a-dash.hatenablog.com

問題

問題1:シェルピンスキーの三角形(面積と三角形の数)

下の図のように紫色の正三角形から、辺の長さが半分の三角形を抜く操作を繰り返した図形を作ります。下の図は、この操作を2回くり返した様子です。

次の問題に答えなさい。

正三角形から、辺の長さを半分にしながら正三角形を抜いていきます。

紫色の正三角形から、辺の長さが半分の正三角形を抜く操作を繰り返した図
  1. はじめは、正三角形が1つだったのが、1回操作した後は正三角形が3個、2回操作した後は、正三角形が9個になります。8回操作した後の紫色の正三角形の個数を求めなさい。
  2. 紫色の正三角形の数が14348907個になるのは、何回操作した後ですか。
  3. 初めの正三角形の面積が144㎠の時、1回操作した後の紫色の部分の面積と、2回操作した後の紫色の部分の面積は何㎠ ですか。
  4. はじめて面積が10㎠より小さくなるのは、何回操作した後ですか。

解答編1

1ばん

三角形は、以下の図のように増えていきます。1回目の操作の後は3個、2回目の操作の後は9個、3番目の操作の後は27個...

3番回操作した後までの三角形の増え方1

図形を見ていくと、最初の三角形から、1回操作すると、三角形が3個になります。

2回目の操作では、下の図でオレンジ色に色をつけた三角形に注目すると、小さい三角形の1個が3個になっていることがわかります。

3回目の操作も同様で、赤の点線で囲んだ、小さい三角形に注目すると、3回目の操作で1個の小さい三角形が3個になっていることがわかります。

このように見ていくと、1回操作するごとに3角形の数が3倍に増えることがわかります。

3番回操作した後までの三角形の増え方2

したがって、

1×3×3×3×3×3×3×3×3 = 81×81=6561(個)

 

A. 6561個

2ばん

紫色の正三角形の数が14348907個になる時...と言うことですが、1回の操作するごとに3倍になると言うことなので、3で割っていけばいいわけです。実際に、この数を3で割っていくと次のようになります。(9で割ると、割り算の数が半分になります。)

14348907の素因数分解

結局、3で割ると言う操作を15回したら1になりました。逆操作を15回したら1に戻るので、最初の三角形の15回操作した後に14348907個になります。

A. 15回 

3ばん

1回目の操作で、はじめの三角形の4分の1の三角形を抜くので、色のついた部分の面積は、最初の4分の3になります。

はじめの操作でできた小さい三角形の1つに注目すると、2回目の操作で、この三角形の4分の1の三角形を抜くので、オレンジ色の部分の面積は、操作する前の4分の3になります。これは全ての三角形について同じなので、全体を見ても面積は、操作前の4分の3になります。

操作を繰り返す度に、面積が4分の3になるので、(4分の3を3/4と書くことにします)2回操作した後は

144×3/4×3/4=81(㎠)

 

A.  81㎠ 

4ばん

1回操作をすると面積が4分の3になるので、順番に4分の3をかけていくだけです。

いきなり割っても、そんなに何回も書けなくていいのですが、一応、見通しを立てるために概算しておくと気が楽になります。

2回で...81㎠なので、おおよそ80と考えると4分の3は60で、60の4分の3は45で.....この辺りで、あと6回か7回すると10より小さくなりそうという見通しが立つので計算していきましょう。

81に6回4分の3をかけてみましょう。

81×3/4×3/4×3/4×3/4×3/4×3/4=14.42*1

まだ少し多いので、あと1回4分の3をかけると

14.42×3/4=10.815

ここまでくると、次は10より小さくなると推察できます。ここまでで 144に3/4を9回かけているので、始めて面積が10㎠より小さくなるのは10回目の操作の後になります。

A. 10回目の操作の後 

 

まとめ

まとめにもなりませんが、こちらの問題は、「ピーター・フランクルのパズルより面白い中学入試の算数 深読みすれば宝の山」(ピーターフランクル, 講談社)に掲載されていた調布中学校*2(1993年)の問題を参考にしました。

ちょっと、数を大きくしたので計算が面倒ですが、フラクタルの規則性が理解できていれば、考え方は難しくないと思います。

ここで、もっとたくさんの操作をしたらどうなるか考えることは、数学への第一歩になるかもしれません。...とはいえ、小学生の皆さんには、「こんな規則性も考えるられるんだ、面白いな」くらいでやめておくのが、おすすめです。

最後になりますが、6回操作したシェルピンスキーの三角形を書いてみました(塗りつぶしなしバージョン)。この解像度だと、ここが限界で、これ以上操作すると、三角形が潰れてわからなくなってしまいます。

6回操作をしたシェルピンスキーの三角形(カラフル版)

 

*1:小数第2位を四捨五入しました。

*2:現在の田園調布学園です。