のんびりさんの中学受験!?

小学生の娘と夫と私...3人4脚でがんばろう!

全国模試(算数)の問題を振り返って

ステージ4第2回の全国模試の振り返りをしていて...色々考えました。目標としているのは算数の実力をつけることですが、まだまだです。

最近、扱っている、場合の数の範囲の問題(工夫して数え上げる問題)についても、かなり慣れてはきましたが、初めてみるタイプの問題や、他の問題と組み合わせられると難しいと感じるようです。

a-dash.hatenablog.com

 

円周上に並んだ点から図形を作る

最近、塾では場合の数を扱っていて、学力育成テストでも、全国模試でもこんな問題が出題されました。

[問題1]

次の図のように、円周上に等間隔に6つの点を打ち、それぞれの点をA,B,C,D,E,Fとします。そのうちの3つの点を結んで三角形を作るとき、何通りの三角形ができますか。

円周上の6点

この[問題1]は、図形の問題ではなく、場合の数の問題です。

(...学力育成テストの振り返りにて...)

母「6個の点が円周上に並んでいる...って、どういうことだかわかる?」

娘「んー?」

母「どの3点を選んでも必ず三角形になるということだよ。」

娘「知ってるよー?」(....疑いもしなかったくせによくいう!)

さて、円周上に並ぶ点というのは、どの3点を取っても3点が1直線上に並ぶことはありません。したがって、そこから3点を選べば3角形が、4点を選べば4角形が、5点を選べば5角形が作れることが保証されます。

そういう目で、[問題1]を見ると、これは、次のような問題であることがわかります。

[問題の趣旨]

A,B,C,D,E,F の6点から3点を選ぶ方法は何通りありますか?

これは、組み合わせの問題です。

丁寧に解いてみましょう

1)3点が隣り合う場合

(A, B, C), (B, C, D), (C, D, E), (D, E, F), (E, F, A), (F, A, B) の6通り

2)次に、となりあう2つの点を選ぶ場合を考えましょう。

初めにABが辺になる三角形を考えると

(A, B, D), (A, B, E) の2通り

同様に、BC, CD , DE, EF, FA が辺になる三角形を考えると

 (B, C, E), (B, C, F) の2通り

 (C, D, F), (C, D, A)の2通り

 (D, E, A), (D, E, B)の2通り

 (E, F, B), (E, F, C)の2通り

 (F, A, C), (F, A, D)の2通り

合わせて、12通りあります。

3)最後に、どの2つも隣り合わない3点を選ぶ場合を考えます。

(A, C, E)と(B, D, F)の2通り

すなわち、

1)〜3)の場合を合計して 20通りが答えになります。

公式を使う方法

この問題は、単純に6個から3個を選ぶ組み合わせの問題とわかります。

そうすると、以下の式で簡単に答えが求められます。

(6x5x4)/ (3 x 2 x 1)=20(通り)

 

一回は、なぜそうなるかを考えることを、お勧めしますが、何でそうなるかがわかったら、公式として使ってしまう方が簡単なので、使っていいと思います。(娘の塾の算数が得意な生徒さんの様子から...かなりの数の小学生が、この式を覚えているようです。)

まとめ

今回(ステージ4の#2)の全国模試では、このタイプの問題が、図形の面積の問題とのセットで出題されました。

のんびりものの娘が、「あ、これ知ってる!組み合わせの問題だ!」とか思って、取り組むと(3)あたりから面積の問題になり、撃沈するという...。

なかなか、テストを作る先生も、子供の気持ちをよくわかっているようで、上手に引っ掛けてくださるなぁと感心するばかりです。